东亚第一本微积分课本

2020-06-15 作者 : 浏览量:101

中国清朝數学家李善蘭  (1811-1882)  在 1859 年与英国传教士伟烈亚力 (Alexander Wylie) 合作,翻译了羅密士 (Elias Loomis, 1811-1899) 的 Elements of Analytical Geometry and of the Differential and Integral Calculus (1850),中译版书名命为「代微积拾级」,强调本书依序讲述「代(數)」(解析几何)、「微(分)」与「积(分)」,「拾级」而上。

事实上,李善蘭在译序中即指出:「羅君密士合众之天算名家也。取代數、微分、积分三术合为一书,分款设题,较若列眉,嘉惠后学之功甚大。……是书先代數次微分、次积分,由易而难,若阶级之渐升。译既竣,即名之曰代微积拾级。」

东亚第一本微积分课本

代微积拾级(图片来源

此外,伟烈亚力也在译序中,点出此书中译的脉络意义:「微分积分,为中土算书所未有,然观当代天算家,如董方立氏、项梅侣氏、徐君青氏、戴鄂士氏、顾尚之氏,暨李君秋纫,所着各书,其理有甚近微分者,因不用代數式,或言之甚繁推之甚难,今特偕李君译此书,为微分积分入门之助。」

上引文提及之天算家依序为董祐城、项名达、徐有壬、戴煦、顾观光以及李善蘭,都是十九世纪中国清代數学名家。不过,他们的共同「不足」,显然如伟烈亚力所說的,由于「不用代數式」,因此,才会显得「言之甚繁,推之甚难」,从而可見解析几何这一理論系统的不可或缺。

这或许也解释了何以伟烈亚力推荐此书之中译,因为本书之前九卷,即是解析几何之内容,而这当然是微积分的先备知識。不过,在本书中,英文原文中的 analytical geometry(解析几何)一概翻译为「代數几何」。

其次,微分有七卷(卷十到十六)。其中,羅密士主要运用微係數 (differential coefficient) 來表示我们今日所谓的导數 (derivative):「函數与变數之比例,俱谓之微分,用ㄔ号记之。如戌 \(=\) 天三,则得比例ㄔ天 : ㄔ戌 :: 一 : 三天二。ㄔ天、ㄔ戌为天与戊之微分。后皆仿此。用表天与戌之变比例,以一、四兩率相乘,二、三兩率相乘则得ㄔ戌 \(=\) 三天二ㄔ天,此显函數戌之变比例,等于三天乘变數天之变比例,以ㄔ天约之得ㄔ天/ㄔ戌 \(=\) 三天二。此显变數之变比例约函數之变比例,等于函數之微係數也。」

上述引文有必要解释或注解一下。李善蘭与伟烈亚力将函數 \(u=f(x)\) 中的 \(u\) 记作戌,\(x\) 记作天;\(u=x3\) 记作戌 \(=\) 天三;微分记号 \(d\)「翻译」为汉字记号ㄔ,显然他撷取了「微」字的部首「ㄔ」。因此,「ㄔ天 : ㄔ戌 :: 一 : 三天二」即相当于「\(dx : du = 1 : 3\times 2\)」。还有,由于当时的分數之分子、分母之位置,恰好与目前习惯相反,亦即分子置于下,分母置于上,于是,\(du/dx\) 才会译为ㄔ天/ㄔ戌。

根据上述引文,针对任何一个函數 \(y=f(x)\) 而言,羅密士先求出 \(dy=f(x)dx\),然后,再得到 \(dy/dx=f(x)\)。如此一來,他可以避开导數之定义中,\([f(x+h)-f(x)]/h\) 之分子与分母同时趋近于零的論证难题。后者不待外尔斯特拉斯(Karl Weierstrass)所領导的柏林学派之分析算术化 (arithmetization of analysis),而提出极限的 \(\varepsilon-\delta\) 定义,是无法解决的。在1872年,外尔斯特拉斯的徒弟汉内(Heine)在老师的上课笔记中,总结了微积分理論的严密化工作。

羅密士拥有LL. D(法学博士),出版这一本教科书时,正担任紐约市立大学的數学与自然哲学教授 (Professor of Mathematics and Natural Philosophy, the University of the City of New York)。不过,当时美国仍然是国际數学社群的边陲地带,大学教师的主要着作都是類似微积分这种大学教科书。

儘管如此,本书英文原着迄至1859年为止,已经出版到第10版,足見它相当受到大学教师的青睐。羅密士也承认本书「并非为了數学家、也不是为了那些拥有特殊天分或是數学的爱好者,而是为广大中等资质的大学生而写。」这或许也是本书英文原版畅销的原因之一吧。其实,就今日标準而言,本书除了例题比较「老套」之外,体例与内容还是蛮适合充当非數学、物理主修的大学生之微积分教材。

本书还有一个特色,那就是:相对于七卷的微分内容,积分只有兩卷!〈积分一总論〉一开始内容如下:「积分为微分之还原,其法之要在識别微分所由生之函數,如已得天二之微分为二天ㄔ天,则有二天ㄔ天即知所由生之函數为天二,而天二即为积分。已得微分所由生之函數为积分,而积分或有常數附之,或无常數附之,既不能定,故式中恆附以常數,命为口丙,口丙或有同數或为 \(0\),须攷题乃知。來本之视微分若函數諸小较之一,諸小较并之,即成函數,故微分之左係一禾字,指欲取諸微分之积分也。如下式 禾二天ㄔ天 \(=\) 天 \(+\) 口丙。來氏說,今西国天算家大率不用,而惟用此禾字取其一览了然也。」

在上述引文中,李善蘭与伟烈亚力将Leibniz翻译为「來本之」,同时,积分记号 \(\int\)(一个拉长的S)则译为「禾」,它取自「积分」的积字之偏旁部首「禾」。羅密士指出:儘管「今西国天算家大率不用」「來氏說」(philosophy of Leibniz),「而惟用此禾字」,「取其一览了然也」。在这个脉络中,羅密士未曾独立地定义定积分 (definite integral),而是通过不定积分 (indefinite integral) 來定义,这省掉了定义定积分的麻烦,值得称道。


參考书目